algo más sobre la filosofia de las matemáticas

Hay dos formas de hacer una demostración en matemáticas: una primera forma consiste en utilizar conceptos ya conocidos, parecido el procedimiento a aplicar un algoritmo. Asi, el ejemplo es de Alice Ambrose (y ella lo toma, según parece, de Wittgenstein), una régla simple como la del producto de dos números iguales (2 x 2) la condensamos introduciendo una notación (2 exponente 2, o "2 al cuadrado") y cuando nos topamos con la necesidad de interpretar la introducción de un nuevo simbolo (como 2 exponente 0) que no puede ser interpretado por las reglas introducidas previamente (2 exponente cero indica que debemos multiplicar 2 cero veces, es decir, que no debemos multiplicarlo en absoluto, pero eso no nos da una nueva operación) asi que se introduce un argumento para darle un valor al resultado de la operación de manera que no luzca arbitraria. Este tipo de argumentos modifican los conceptos, los cambian, introducen de manera subrepticia una nueva comprensión de las cosas en juego. Otro ejemplo es el polinomio de tercer grado: xxx+xx+x+1 = 0: para Descartes existia la decisión de darle tres raices: dos complejas y una real, o de considerar solo una real porque el campo de los números complejos no existia en su ontologia. Pero al introducir los números complejos se pone en uso un nuevo simbolo y se expande la ontología.

Recomiendo nuevamente "Essays in Analysis" como un modelo del tipo de filosofia análitica a la que Ernest Gellner no puede colocarle objeciones fundadas, ya que clarifican los conceptos y hacen relucir problemas que de otro modo permanecerian en la oscuridad.

No recomiendo leer estos ensayos a quién no haya leído previamente "Proofs and refutations" ya que la temática es la misma. Se muestra, de manera incidental, otra cosa: la filosofia de Lakatos incorpora una pedagogia que, más para mal que bien, se encuentra ausente en L . Wittgenstein; si bien no totalmente en sus discipulos. Con el pretexto de un teorema simple de la geometria sintética, nos demuestra Lakatos con original maestria que la simplicidad es una ilusión de los lógicos, que el conocimiento no tiene fundamentos y que el consenso alredor de las verdades lógicas es tan endeble como endebles son las filosofias estáticas de las matemáticas.