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La lectura del tratado de E. T. Whittaker sobre mecánica raciónal: "A treatise on the analytical dynamicas of particles and rigid bodies" contiene un sumario del conocimiento que sobre las ecuaciones diferenciales se tenia al respecto a principios del siglo XX. Otra obra, más comprensiva, es "Theory of differential equations" en seis volumes por Andrew Russell Forsyth.

Todo lo que se sabia sobre las ecuaciones diferenciales se desarrollaba de acuerdo a ciertas concepciones ingenuas sobre la diferenciación y la integración teniendo como trasfondo lo que Hawkins denomina "Pensamiento genérico" . Si analizamos las pruebas, es decir: si pasamos directamente al patrón descubierto por Lakatos, notaremos de inmediato que, por ejemplo, la reducción de Pfaff planteada por Whittaker y Forsyth presupone la existencia de soluciones de las ecuaciones (por eso demostraban un teorema de existencia previamente) pero no se descubre la forma bilineal de manera explicita, y por ello no se plantea la cuestión en forma no canónica o en dimensiones infinitas, donde el teorema de reducción de Darboux no es válido (y por ende el de Pfaff tampoco). Cuando se introduce la teoria de formas cambian los conceptos asociados a las demostraciones dadas por Forsyth: se alcanza más rigor, pero lo que se llega a demostrar no solo es más general, sino completamente distinto.

algo más sobre la filosofia de las matemáticas

Hay dos formas de hacer una demostración en matemáticas: una primera forma consiste en utilizar conceptos ya conocidos, parecido el procedimiento a aplicar un algoritmo. Asi, el ejemplo es de Alice Ambrose (y ella lo toma, según parece, de Wittgenstein), una régla simple como la del producto de dos números iguales (2 x 2) la condensamos introduciendo una notación (2 exponente 2, o "2 al cuadrado") y cuando nos topamos con la necesidad de interpretar la introducción de un nuevo simbolo (como 2 exponente 0) que no puede ser interpretado por las reglas introducidas previamente (2 exponente cero indica que debemos multiplicar 2 cero veces, es decir, que no debemos multiplicarlo en absoluto, pero eso no nos da una nueva operación) asi que se introduce un argumento para darle un valor al resultado de la operación de manera que no luzca arbitraria. Este tipo de argumentos modifican los conceptos, los cambian, introducen de manera subrepticia una nueva comprensión de las cosas en juego. Otro ejemplo es el polinomio de tercer grado: xxx+xx+x+1 = 0: para Descartes existia la decisión de darle tres raices: dos complejas y una real, o de considerar solo una real porque el campo de los números complejos no existia en su ontologia. Pero al introducir los números complejos se pone en uso un nuevo simbolo y se expande la ontología.

Recomiendo nuevamente "Essays in Analysis" como un modelo del tipo de filosofia análitica a la que Ernest Gellner no puede colocarle objeciones fundadas, ya que clarifican los conceptos y hacen relucir problemas que de otro modo permanecerian en la oscuridad.

No recomiendo leer estos ensayos a quién no haya leído previamente "Proofs and refutations" ya que la temática es la misma. Se muestra, de manera incidental, otra cosa: la filosofia de Lakatos incorpora una pedagogia que, más para mal que bien, se encuentra ausente en L . Wittgenstein; si bien no totalmente en sus discipulos. Con el pretexto de un teorema simple de la geometria sintética, nos demuestra Lakatos con original maestria que la simplicidad es una ilusión de los lógicos, que el conocimiento no tiene fundamentos y que el consenso alredor de las verdades lógicas es tan endeble como endebles son las filosofias estáticas de las matemáticas.

alice ambrose

Alice Ambrose fue discipula de L. Wittgenstein y de G. E. Moore, nació en EEUU en una familia de poco poder económico, pero, sin notar demasiado eso, escribio un libro como pocos: "Essays in analysis", donde incluyo sus reflexiones, desde el punto de vista de la filosofia análitica de Moore y Wittgenstein, sobre la filosofia de las matemáticas.

Un articulo que, al leerlo, recuerda al Lakatos de "Proofs and refutations" es "Proof and the theorem proved": en esencia, lo que da significado al teorema es la demostración, en otras palabras: lo que da significado a los conceptos utilizados en el teorema es lo que la demostración establece que es posible hacer con esos conceptos. Pero si ello es asi, entonces el teorema probado no es el teorema original, porque originalmente no se tenia claridad respecto a los conceptos utilizados. Por tanto, no comprendiamos el teorema originalmente establecido hasta que vimos la demostración. Parece, sin embargo, que éste proceso de formación de conceptos puede comprenderse mejor si invertimos la ideologia de los matemáticos: no viene primero la conjetura, viene primero la demostración y después el teorema, asi, generamos los conceptos primero, en el intento de demostrar, y después podemos enunciar lo que queremos enunciar.

Recomiendo "Essays in Analysis" a tod aquel que guste de la claridad conceptual, de la filosofia como arte de buscar la claridad y de las matemáticas como construcción humana, si bien no necesariamente como "actividad a-linguistica de la mente".

Obviamente, a todos los que se quieren denominar filosofos porque comprenden la metaf´sicia del destino humano el libro de Ambrose les resultara trivial, porque es sabido que tales filosofos descubrierón un método infalible de obtener verdades eternas, indubitables y de evidencia apodictica.